Графы

 Сегодня мы рассмотрим: графы.

 Посмотрим, что значит граф. Давайте нарисуем на бумаге несколько точек, которые называются вершинами графа. И потом соединим какие хотим точки друг с другой отрезком, который называется ребром графа. То есть любое количество точек и любым количеством отрезков. Может получится что-то вроде этого:

  Графы это удобный способ интерпретации имеющихся данных и связей между ними. К примеру, есть несколько объектов, которым можно сопоставить точки графа. И связи между этими объектами, которые можно обозначить отрезками. А далее искать всевозможные новые закономерности и радоваться этому.

 Вопрос на сегодня: Сколько вершин у графов, нарисованных на рисунке?

  

                                           

Четные и натуральные числа

 Сегодня мы рассмотрим:
  Почему четных столько же, сколько и натуральных.

Что такое натуральные числа? Все мы знаем. Это набор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,.... и так далее до бесконечности - все числа, которые отвечают за пересчет чего бы то ни было.
 Что такое четные числа? Это натуральные числа, которые делятся на два, то есть 2,4,6,8,10,12,14,16,.... и так далее до бесконечности.
  Казалось бы, что четных чисел в два раза меньше натуральных. Ан нет. Их ровно столько же.  Вот здесь как раз мы видим пример того, как проявляет себя бесконечность в действии. Далее, вкратце поясню, почему так происходит.
  Пронумеруем все четные числа. Если мы сможем это сделать, то можем сказать, что четных чисел столько же, сколько натуральных. Числу два мы припишем номер 1, так как 2*1=2, числу 4 мы припишем номер 2, так как 2*2=4, числу 6 мы припишем номер 3, так как 3*2=6, числу 8 мы припишем номер 4, так как 4*2 =8 и так далее. К примеру, числу 128 мы припишем номер 64, так как 64*2=128.

 В силу того что четных чисел и натуральных бесконечно, мы получаем, что можно пронумеровать все четные числа. Если бы существовало четное число, которое нельзя пронумеровать, то мы бы его разделили на два и получили бы его номер.

Вопрос на сегодня: какой номер у числа 20?

viewing of math

Вопрос на сегодня: если из A следует B, из B следует С, то что следует из A?

Укладки

Сегодня мы рассмотрим: укладки и упаковки.
Попробую сегодня пару слов рассказать про укладки. Оказывается всю плоскость можно выложить многоугольниками определенного вида. Можно например всю плоскость замостить квадратиками, то есть так чтобы не было пустого места и пересечения были только по границам) А еще можно шестиугольниками. Вот насчет пятиугольников сильно не уверена. Сегодня как раз пыталась это понять.
 А еще существуют такие вещи как упаковки:  можно плоскость покрыть кругами одного размера, но при этом без пересечений тут не обойтись. И возникает вопрос, как можно упаковать эти круги так, чтобы площадь пересечения была наименьшей. Соответственно, меньше материала использовать, если что. Оказывается, если центры кругов расположить так,
как показано на рисунке, то общая занимаемая площадь будет минимальной.

Вопрос на сегодня: что для Вас такое бесконечная плоскость?

Синусоида в жизни и в кино

 Здравствуйте! Сегодня буду писать несколько странные вещи для математики. И да простят меня математики за это и просто люди) Просто подумалось тут о философском взгляде на жизнь с точки зрения математики.
 Многие знают, что такое синусоида.

Задается она функцией sin(x). Многие говорят, что жизнь это то светлая полоса, то темная. То есть, то вверх, то вниз: как синусоида. Можно смотреть, что жизнь действует на человека, то есть, sin действует на х, и получается такая синусоида.
 А теперь прибавим к этому действию еще самого человека, то есть x, то есть человек будет еще взаимодействовать со своей жизнью, тогда получим x+sin(x). График этой функции такой:

Здесь мы видим, что график также идет волнами, но все равно вверх, то есть черные полосы и белые продолжаются, но при этом все равно все время вверх. То есть это происходит когда человек вкладывает в себя и работает над собой, то тогда он идет вверх, пусть и волнами. А на расстоянии эти волны вообще незаметны, только направление вверх.

Нормальное распределение (normal distribution) или распределение Гаусса

 Нормальное распределение очень часто встречающийся объект в жизни. Очень многое имеет нормальный закон распределения.  Что имеется ввиду. К примеру рост человека подчинен нормальному закону, то есть средний рост человека где-то 170 см и отклонение плюс минус 10 см. Это обстоятельство и описывает нормальный закон. То есть ожидаемый рост случайно встреченного человека на улице (математическое ожидание) 170 см с разбросом (средне квадратическим отклонением) 10 см. То есть человек с другим ростом возможен, но вероятность его встретить гораздо меньше и чем дальше от 170 см, тем менее вероятно. Это обстоятельство как раз и описывает кривая Гаусса (или так называемый "колокол").
 На картинке видно что есть самая высшая точка: по оси Х можно рассматривать как рост, по Y как вероятность. То есть здесь видно, что среднее значение наиболее вероятно и чем дальше от среднего, тем менее вероятно.
 Или, к примеру, Вы идете на работу  в среднем час, плюс минус 5 минут. Время пути до работы тоже можно рассматривать как подчиненно нормальному закону распределения.

Числа Фибоначчи

 Числа Фибоначчи очень известный и классический объект в математике. Это некий упорядоченный набор чисел, в которой первый элемент равен 1, второй равен 1, третий равен сумме двух предыдущих, то есть 2, 4й элемент равен сумме двух предыдущих, то есть 1+2=3, 5й равен сумме двух предыдущих, то есть 2+3=5. И так далее, до бесконечности: каждый новый элемент будет равен сумме двух предыдущих.
 В итоге мы получаем последовательность 1,1,2,3,5,8,13,....

В свое время эти числа появились в работах Фибоначчи как такая идеалистическая модель распространения кроликов. 

дельта-функция

Есть такая вещь как дельта-функция. Это функция особого вида. Она равно бесконечности ровно в одной точке, а в остальных равна. нулю. То есть это что-то вроде такого всплеска ровно в одной точке, ровно в одно месте, но очень резкий всплеск.

творчество и математика

 Многие считают, что математика это только строгие логические рассуждения и цепочки логических выводов, следующих один из другого. На самом деле, зачастую математика это также и творчество, полет мысли и фантазий, ярких картинок и образов.

 В математике больше задействована та часть мозга, которая отвечает за иррациональное мышление, а не рациональное

немного о погрешностях округлений

Приведу простой пример, что может происходить при больших округлениях чисел.
Посчитаем выражение 1/121*20000 двумя способами
Разделим сначала 1 на 121. Получим 0,0082644.......Округлим до второго знака. Получим 0,01. Умножим на 20000. Получим 200. А теперь другим способом: разделим 20000 на 121. Тогда получим 165, 289.... То есть видим, что разница достаточно большая. И таких примеров можно подобрать очень много.
 Цифры, к примеру, могут измерятся в денежных единицах. И мы сразу видим какие могут происходить потери в случае неправильного округления.

Канторово множество или продолжение темы фракталов

  Здравствуйте! Рассмотрим отрезок, разделим его на три равные части и выкинем из этих трех частей серединку. Останется два отрезка. Потом каждый такой отрезок разделим на три равные части, получится шесть отрезков. И выкинем опять серединки, останется четыре отрезка. Потом рассмотрим каждый из 4х отрезков, разделим их на три равные части и из этих трех частей выкиинем средний отрезок, останется восемь отрезочков и так будем продолжать до бесконечности.
   Этот процесс никогда не завершится, ибо отрезок можно делить на три части бесконечно. В итоге то что останется -  это будет то что будет в пределе наших построений и будет канторовым множеством.
 Этот пример самый простейший фрактал. (Про фракталы я писала пост назад)

сложность математики

Как мне кажется, немного пафосно. Но есть в этом что-то приятное)))

Предел

Определение не существования предела в юмористической форме.

 Всегда можно найти такой момент, начиная с которого мы будем выходить из любого наперед заданного множества и, таким образом, у нас не будет предела, а только беспредел.

Пара слов о фракталах

 Сегодня хочу сказать пару слов о фракталах. Опять же на ощущениях, не вдаваясь в детали. По сути фракталы это такие геометрические объекты, что каждая его сколько угодно маленькая или сколь угодно большая часть самоподобна сама себе. То есть сколько ни смотреть вглубь картинка будет все одна и таже. Очень известный пример это множество Мандельброта. В этой теории очень много всяких красивых картинок и изображений. В природе фрактальная структура можно увидеть в структуре дерева. Данное свойство помогает при моделировании структуры деревьев в компьютерной графике.

 Кто-то даже придумал, как можно использовать фрактальную структуру в области финансов для торговли на фондовых рынках.

Кандинский и математика

 Вспомнила вчера вечером про книжку художника Кандинского "Точка и линия на плоскости"  (Punkt und Linie zu Fläche). Помню, что читала, когда была в аспирантуре и сдавала сложный экзамен по топологии. Этот экзамен много что повернул в моем понимании математики.
   У Кандинского меня сильно затронула мысль про его восприятие геометрии в школе. Он пишет, что учился и ему трудно было ее понять. Там же надо рисовать треугольники, прямые, окружности. Абстрактные треугольники, прямые окружности. Но он не мог это понять: как это абстрактно. Ведь если нарисовать прямую под одним углом, то будет одно восприятие и одно цветопонимание, если под другим углом, то это уже другая прямая и она передает другой образ, другое мироощущение, восприятие. Если линию нарисовать толще, то это уже другая линия. Длина линии тоже имеет смысл и имеет смысл весь комплекс объектов на рисунке. И как это можно понимать абстрактно. В свое время я именно так запомнила его ощущения от геометрии.

 Также он достаточно подробно описывает то как можно воспринимать точку, линию, какое звучание и ощущение несут каждая из них в зависимости от того как нарисовать, также про восприятие цвета. Насколько знаю, это была одна из первых книг по теории искусства вообще. Книга,где в таких подробностях и настолько на словах, а не в образах описаны художественные восприятия.Это могло бы быть полезно для начального знакомства с   теорией искусства вообще или для нового понимания. Для способности прочувствовать цвет и формы.Также его слова могли бы упростить базовые сложности в понимании искусства.

  И в его осознании геометрии  тоже есть своя правда, потому что чем больше знакомишься с геометрией тем больше такое понимание описывает большую геометрию. Для меня это так. Тут, конечно, надо сказать много уточнений и корректировок. Но по ощущениям в геометрии больших размерностей, то есть четырехмерной, пятимерной есть схожие ощущения в понимании. Там уже для понимания добавляется что-то вроде ощущения цвета, пространства, окружения. Это очень круто.
  Кандинский мне в своем время помог  очень сильно в моем осознании топологии и красоты науки. Но это пока что только на ощущениях я пишу. Позже буду дополнять мыслями Кандинского как только будет настроение.

Платоновы тела

Решила пока запостить фото с 5 телами Платона. Их особенность в том, что каждая сторона ее (они называются гранями) является правильным многоугольником, то есть у которого все стороны равны. Оказывается, что таких тел с правильными сторонами всего пять и не бывает, к примеру таких тел, у которых каждая сторона это правильный шестиугольник. Почему других нет это еще Платон когда-то давно доказал

Начало или лист Мебиуса

Здравствуйте, уважаемые читатели! Это моя первая запись в этом блоге. В нем я буду рассказывать про всевозможные математические темы, но, по возможности простым языком. Что и отражает название.

 Начать я хочу с листа Мебиуса. И с его простых свойств. Что же это такое? Вот рассмотрим простой лист бумаги. Точнее такой прямоугольный лист, который в длину заметно больше, чем в ширину.  Что мы с ним можем сделать? Мы можем склеить его концы так что получится такое широкое кольцо. Но! Мы склеим его по-другому. Мы одну сторону при склейке перевернем и приклеим ее другой стороной. Получится такое закрученное кольцо. Как иногда бывает, что лямки на одежде закручиваются, так и наше кольцо будет таким закрученным. Вроде, знакомый объект. Но у него есть одно свойство. Сначала вспомним про наше первоначальное кольцо. Что будет если мы его разрежем поперек? Будет два кольца. А теперь посмотрим на наше скрученное кольцо и тоже разрежем вдоль. Что получится? Два скрученных кольца? Нет. Получится одно скрученное кольцо. Просто более узкое и большего диаметра.